Сумма членов прогрессии - это важное математическое понятие, которое позволяет вычислить общее значение всех элементов последовательности. Рассмотрим формулы для различных типов прогрессий.

Содержание

Сумма членов прогрессии - это важное математическое понятие, которое позволяет вычислить общее значение всех элементов последовательности. Рассмотрим формулы для различных типов прогрессий.

Сумма членов арифметической прогрессии

ФормулаSn = (a1 + an) × n / 2
Альтернативная формаSn = [2a1 + d(n-1)] × n / 2
Обозначения
  • a1 - первый член
  • an - n-ный член
  • d - разность прогрессии
  • n - количество членов

Пример расчета

Для прогрессии 5, 9, 13, 17, 21 сумма первых 5 членов:

S5 = (5 + 21) × 5 / 2 = 65

Сумма членов геометрической прогрессии

Формула для q ≠ 1Sn = a1 × (1 - qn) / (1 - q)
Формула для q = 1Sn = a1 × n
Обозначения
  • a1 - первый член
  • q - знаменатель прогрессии

Пример расчета

Для прогрессии 2, 6, 18, 54 сумма первых 4 членов (q=3):

S4 = 2 × (1 - 34) / (1 - 3) = 2 × (1 - 81) / (-2) = 80

Сумма бесконечной геометрической прогрессии

Для |q| < 1 сумма бесконечной прогрессии вычисляется по формуле:

ФормулаS = a1 / (1 - q)
Пример1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1 / (1 - 1/2) = 2

Особые случаи сумм

Сумма натуральных чисел

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

Сумма квадратов натуральных чисел

12 + 22 + ... + n2 = n(n+1)(2n+1)/6

Сумма кубов натуральных чисел

13 + 23 + ... + n3 = [n(n+1)/2]2

Применение формул сумм

  • Финансовые расчеты (аннуитеты, кредиты)
  • Физические вычисления (равноускоренное движение)
  • Анализ алгоритмов (вычислительная сложность)
  • Теория вероятностей

Правильное применение формул сумм прогрессий позволяет эффективно решать широкий круг математических и прикладных задач.

Другие статьи

TutorPlace: что это и как отменить подписку на iPhone и прочее